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\documentclass[cn,hazy,blue,14pt,screen]{elegantnote}
\title{笔记：Structure Preserving Reduced Attitude Control of Gyroscopes}

\author{Ke Chenxu}
\institute{202400446}

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\date{\zhtoday}

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\begin{document}
\setcounter{MaxMatrixCols}{13}
\maketitle

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\section{笔记1}
论文公式（2）详解

式
\begin{equation}\label{note1_1}
	\dot{\mathbf{\Gamma}} = \dot{\mathbf{R}}_2\mathbf{e}_3 = \left(\mathbf{R}_2\boldsymbol{\omega}_{2\times}\right)\mathbf{e}_3 = \left(\mathbf{R}_2\boldsymbol{\omega}_{2\times}\right)\mathbf{R}_2^\mathrm{T}\mathbf{R}_2\mathbf{e}_3 = \left(\mathbf{R}_2\boldsymbol{\omega}_{2\times}\mathbf{R}_2^\mathrm{T}\right)\mathbf{R}_2\mathbf{e}_3
\end{equation}
由于有关系
\begin{equation}
	\mathbf{R}_2\boldsymbol{\omega}_{2\times}\mathbf{R}_2^\mathrm{T} = \left(\mathbf{R}_2\boldsymbol{\omega}_2\right)_{\times}
\end{equation}
具体证明可参考
\url{https://fzheng.me/2017/12/10/Rvhat/}

那么，式\eqref{note1_1}进一步地就有
\begin{equation}
	\dot{\mathbf{\Gamma}} = \left(\mathbf{R}_2\boldsymbol{\omega}_2\right)_{\times}\mathbf{R}_2\mathbf{e}_3 = \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{\Gamma}
\end{equation}

实际上该关系在《多旋翼飞行器设计与控制》第95页有更加直观的几何解释（但不是数学解释）。

\section{笔记2}
论文Theorem 1中证明部分提到的公式
\begin{equation}\label{note_2_1}
	\dot{\Psi}\left(\Gamma\right) = -\mathbf{\Gamma}_\mathrm{d}^\mathrm{T}\left(\left(\mathbf{\Omega}_\mathrm{d} + \mathbf{\Omega}_\mathrm{e}\right)\times\mathbf{\Gamma}\right) = \frac{-1}{k_\mathrm{p}}\left(\|\boldsymbol{\omega}_\mathrm{d}\|^2 + \boldsymbol{\omega}_\mathrm{d}^\mathrm{T}\boldsymbol{\omega}_\mathrm{e}\right)
\end{equation}
下面给出给公式的详细推导步骤

用到了标量三重积的性质（Scalar triple product）。详细可以参考\url{https://mathworld.wolfram.com/ScalarTripleProduct.html}。简单来讲，满足如下关系
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\left[\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}\right] &\triangleq \mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times \mathbf{C}\right)\\
		&=\mathbf{B}\cdot\left(\mathbf{C}\times \mathbf{A}\right)\\
		&=\mathbf{C}\cdot\left(\mathbf{A}\times \mathbf{B}\right)\\
	\end{aligned}
\end{equation}

因此，式\eqref{note_2_1}的具体表示为
\begin{equation}\label{note_2_2}
	\begin{aligned}
		\dot{\mathbf{\Psi}}\left(\mathbf{\Gamma}\right) &= -\mathbf{\Gamma}_\mathrm{d}^\mathrm{T}\left(\left(\mathbf{\Omega}_\mathrm{d} + \mathbf{\Omega}_\mathrm{e}\right)\times\mathbf{\Gamma}\right)\\
		&= -\mathbf{\Gamma}_\mathrm{d}\cdot\left(\left(\mathbf{\Omega}_\mathrm{d} + \mathbf{\Omega}_\mathrm{e}\right)\times\mathbf{\Gamma}\right)\\
		&= -\left(\mathbf{\Omega}_\mathrm{d} + \mathbf{\Omega}_\mathrm{e}\right)\cdot\left(\mathbf{\Gamma}\times\mathbf{\Gamma}_\mathrm{d}\right)\\
	\end{aligned}
\end{equation}
在结合论文中式(11)。即
\begin{equation}
	\mathbf{\Omega}_\mathrm{d} = k_\mathrm{p}\mathbf{\Gamma}\times\mathbf{\Gamma}_\mathrm{d}
\end{equation}
那么，式\eqref{note_2_2}可进一步的表示为
\begin{equation}\label{note_2_3}
	\begin{aligned}
		\dot{\mathbf{\Psi}}\left(\mathbf{\Gamma}\right) &= \frac{-1}{k_\mathrm{p}}\left(\mathbf{\Omega}_\mathrm{d} + \mathbf{\Omega}_\mathrm{e}\right)\cdot\mathbf{\Omega}_\mathrm{d}\\
		&= \frac{-1}{k_\mathrm{p}}\left(\mathbf{\Omega}_\mathrm{d}\cdot\mathbf{\Omega}_\mathrm{d} + \mathbf{\Omega}_\mathrm{e}\cdot\mathbf{\Omega}_\mathrm{d}\right)\\
	\end{aligned}
\end{equation}
再考虑到旋转矩阵不改变内积的结果的事实（从物理上可以直观解释，即旋转矩阵只是改变了向量的所在的坐标系，并不对向量做任何改变。故而，旋转前后的两个向量的内积是相同的）。
那么，式\eqref{note_2_3}可以表示为
\begin{equation}
	\dot{\mathbf{\Psi}}\left(\mathbf{\Gamma}\right) = \frac{-1}{k_\mathrm{p}}\left(\boldsymbol{\omega}_\mathrm{d}\cdot\boldsymbol{\omega}_\mathrm{d} + \boldsymbol{\omega}_\mathrm{e}\cdot\boldsymbol{\omega}_\mathrm{d}\right)
\end{equation}
即得到论文公式。


\end{document}












